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4.1.5 Matrices especiales


Matriz de companion: compan. Si p es un vector de coeficientes polinomiales, compan(p) es la matriz de companion correspondiente, cuya primera fila es -p(2:n)/p(1). Los autovalores de la matriz son las raíces del polinomio. El polinomio (x-1)(x-2)(x+3)$ =$x$ \wedge$3-7x+6 tiene una matriz de companion: p$ =$[1 0 -7 6] a$ =$compan(p)

a=
0 7 -6
1 0 0
0 1 0


Matriz de Hadamard: hadamard. hadamard(n) devuelve la matriz de Hadamard de orden n. Las matrices de Hadamard tienen aplicaciones en diferentes áreas como procesamiento de señales y análisis numérico. Son matrices cuyos elementos son +1 o -1 y cuyas columnas son ortogonales.


Matriz de Hankel: hankel. Una matriz de Hankel, hankel(c,r), debe ser simétrica, constante en las antidiagonales, cuyos elementos son h(i,j)$ =$r(i+j-1) donde r es un vector que determina completamente la matriz de Hankel.


Matriz de Hilbert: hilb. hilb(c) devuelve la matriz de Hilbert de orden c. Es una matriz pobremente condicionada. Los elementos de la matriz de Hilbert son: h(i,j)$ =$1/(i+j-1)


Matriz inversa de Hilbert: invhilb. invhilb(a) es la matriz inversa exacta de la matriz de Hilbert es una matriz cuyos elementos son enteros grandes. Estos enteros puede representarse mediante números en punto flotante sin error de redondeo mientras el orden de la matriz sea inferior a 12 ó 13. Para órdenes mayores la orden genera solo una aproximación.


Matriz cuadrada mágica: magic. magic(n) es una matriz $ n \times n$ para $ n \ge 3$ construida a partir de los enteros de $ 1$ a $ n$ cuyas filas y columnas suman igual. Por ejemplo, la matriz cuadrada mágica de orden 3 es: m$ =$[ 8 1 6; 3 5 7; 4 9 2]


Problema de probar autovalores simétricos: rosser. Esta matriz era un desafío para muchos algoritmos de autovalores, pero el algoritmo qr de Francis, perfeccionado por Wilkinson no tiene problemas con ella. Es una matriz $ 8\times 8$ con:


Matriz de Toeplitz: toeplitz. Una matriz de Toeplitz queda definida por una fila y una columna. Una matriz simétrica de Toeplitz se define sólo con un vector. toeplitz(a,b) es una matriz de toeplitz no simétrica con a como primera columna y b como primera fila. toeplitz(a) es una matriz simétrica de Toeplitz formada a partir del vector a.


Matriz de Vandermonde: vander. vander(a) devuelve la matriz de Vandermonde cuyas columnas son potencias de los elementos de a. Si $ n=length($a$ )$, entonces la matriz es $ n \times n$.


Matriz de prueba de autovalores de Wilkinson: wilkinson. wilkinson(a) es la matriz de prueba de autovalores. Es una matriz simétrica, tridiagonal con pares de autovalores similares pero no exactos.


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